tesettür ve felsefe konusu
. FORMELLEŞTİRİLMİŞ MANTIĞIN KULLANIMIGeleneksel manık, okul örneklerinde ve retorik argümantas larda çok yaygın olarak kullanılır. Ama geleneksel mantığın, birbii'' min içeriğini tam olarak ifade etmek ve bilimsel çıkanm sürecinin çj şitliliğini doğrulamak işinde açıkça dışta kaldığı görülmüştür.
Formelleştirilmiş mantığın gösterdiği gelişme, onun bilimlerde kullanılmasına yol açmıştır. Bu özellikle matematikte gerçekleş-miş. tir. Formelleştirilmiş mantığın matematikte kullanımı üç form göste-
2.Bir bilimsel disiplin, mantığın bir kullanımı ya da uzantısı olarak ele alınır. Burada iki dummu birbirinden ayırmak gerekir.
(B)Kullanım, mantığa yabancı işlemleri ve işaretleri içermez.
(C)Kullanım, "mantıksal olmayan" işlemsel işaretleri içerir.
3.(D) Ya da tersine, mantık, formelleştirilmiş matematiğin bir alt bölümü olarak görülür.
a. Matematiği Mantığa İndirgeme Denemesi
Leibniz, kendi mantıksal kalkülü ile tüm bilimleri dedüksiyon ile doğrulayabileceğin! düşlemişti. Buna karşı biz şunu yinelemek zorundayız: Doğa bilimlerinin formelleştirilmesi bugüne kadar gerçekleştirilememiştir. Gerçi klasik mantığın ustalarının, çabalannı matematiğin formelleştirilmesine yönelttiklerini görürüz. Russell ve Whitehead'ın büyük yapıtlarının adı da zaten bunu {Principia Mathematica) gösterir. Üç ciltlik yapıtın ilk iki cildi tamsayılar, göreli sayılar ve düzen sayıla-n kuramının tipsel bir formelleştirmesidir ve bu çabaya daha Frege’nin Aritmetiğin Temelleri (1895) adlı önemli yapıtında da rastlanz.
a) Bu yapıtlarda sadece matematik kavramlan formüle edilmez' tersine matematiksel kavramlar mantıksal kavramlara geri götürülür. Aynı şey sonsuzluk (transfinite)tesettür ve sonluluk tfinite) konusunda da y
pılır. Matematiksel kavramlann indirgenmek istendiği mantıksal kavramlar çok karmaşıktırlar. Biz bir sayma sayısını (kardinal sayı) sınıfların sınıfı olarak kabul etmişizdir. Bir göreli sayı ise bir işaretler sınıfıdır. Ama bunları yapabilmek için önce özel aksiyomlara başvurma gereği vardır.
b)İşte burada temel güçlüklere çarpılır. Principia Mathemati-cfl’dan önce, Frege bazı postulatlardaki çelişkilere işaret etmişti. Bu çelişkilerin ilk türü olarak yalancı paradoksu yeniden gündeme getirilmişti: "Ben yalan söylüyorum." ya da "Şimdi yazdığım tümce yanlıştır." savlan sağlam ve somut bir yapıya sahip görünürler ama, buna rağmen içlerinde bir çelişki taşırlar. İkinci tarz paradoksları Russell'a borçluyuz. Biz "k"yı kendinden başka elemanı olmayan bir sınıfın özelliği sayarsak, "herhangi x için: x bir k'dır" önermesi ile eşanlamlı olur. Biz, özel bir durum olarak x = k olduğunu düşünürsek, "k bir k’dır" ve "k bir k değildir” önermelerinin ikisi de geçerli olur ki, burada açık bir çelişki vardır.
Buna dayanılarak bu çelişkilere paradokslar denmesi âdet olmuştur. Gerçekte, burada antinomiler söz konusudur. Antinomiler, ait olduktan sistemleri çelişkili kılarlar. Okuyucu, bu türden antinomilere bakarak bunlan sofizmalar (safsata) sayabilir ve insanın sağlıklı sezgisel anlayışının bunlan yadsıyacağını söyleyebilir. Ne var ki, sağlıklı sezgisel anlayışın teknik güçlüklerin üstesinden gelemediği anlaşılmıştır. Öbür yandan, okuyucu bu paradokslann pratik hayat için önem taşımadıklarını da söyleyebilir. Ama formelleştirilmiş mantık kuramcısı için bu paradokslar, kendi formelleştirme çabalan için ciddi tehlikelerdir. Bu paradokslar bize düşünsel işlemlerimizde kullandığımız kavram ve kavram gruplannın kurulmasında belli sınırlara gelip dayandığını göstermiştir ki, bunlara dikkat etmeden yapamayız.
c)Russell'ın "tipler" kuramı paradoksların yarattığı güçlüklerin giderilmesi için yeterli bir çözüm sunmaktadır. Basitçe ele alındığında bu tipler, birinci türden paradokstan (yalancı paradoksu, vb.) semantik yoldan aşmaktadırlar. Bunlan 4.B'de ele alacağız. İkinci türden par
doksları aşmak için, çeşitli mantıksal tipler ya da kategorileiı konmuştur. Örneğin, bireyler (tekler), sınıflar ve sınıfların sının bi. Her özne ya da yüklem, belirli bir mantıksal tipe aittir veyükll daima aracısız olarak özneye göre düzenlenmiş bir tiptir. (Yalnız ı da ilişkiler mantığına ait bir durumdan sözedilmediğıni belirtelim.’ nedenle, "x bir k'dır." örneğinde, x bir sınıf ise, k sınıflann sınıfı oj Buna göre artık "k bir k'dır." türünden ifadelere başvurulmaz. Öyky çelişki, tipler kuramıyla aşılmış olmaktadır. Tiplerin benimsenmesi si la uygun görünmektedir. Ama bu tipler, kalkülü iyice karmaşık hale d; sokmaktadır. Bu yüzden bu tipleri çeşitli yollardan basitleştirme denemelerine başvurulmuştur (diziler kuramı, Quine'ın "stratifıkaiton ve Lesnievski’nin "mereoroloji" kuramları gibi).
b.Mantığın Mantıksal Olmayan Yüklem ve Sembollerle Genişletilmesi
Her sistm, başka bir sistemin, yani, artık tanımlanamaz türden olan nihai (sonul) simge ve aksiyomları içeren başka bir sistemin uzantısıdır. Matematiğin Principia'daki formelleştirilme biçimi, aslında bizzat kendisi nihai (sonul) aksiyomlara dayalı olarak klasik mantığın genişletilmesinden başka bir şey değildir. Bunun gibi, geometrinin ve doğa bilimlerinin ayrı ayn, kendi bağlamlan içinde foımelleştirilmesi denemesi (Camap, Goodman) yine aynı şekilde klasik mantığın genişletilmesine dayanır. Mantıksal simgelerin foımelleştirilmesi, aslında doğa gerçekliğine işaret etmeye hizmet eder. Ama bu simgeler, mantıksal kategorileri belirli tiplerden kalkarak düzenlerler ki, böylece yeni mantık yasalarına dayanılarak bir reüeksiyona başvurulmuş olur. Örneğin doğa bilimlerinde bu tipler, fiziksel verileri ifadeye yarayan niha-i (sonul) aksiyomlardı
cFormelleştirmeye Dayalı Genişleme
Genişletme çabası, mantıksal kategorileri altına alamayan simgelerle yapıldığında özellikle ilgi çekicidir. Hilbert, aritmetiği formelleş-tirirken, "a" ile "a sayısının ardılı" üzerinde durur, "a" yı gösteren simge, ne bir birey (tek), ne bir sınıf, ne de bir ilişkiyi gösterir vb.
Ama dikkat edelim: Formelleştirilmiş bir sistem, hiç de her zaman zorunlu olarak bir mantıksal uzanımda olmayabilir. Ama bu yüzden, örneğin formelleştirilmiş bir matematiksel sistemin postulatlannı, zorunlu olarak, bir bölümünü mantıksal postulatlar, öbür bölümünü de sisteme özgü postulatlar olarak iki diziye bölmek gerekmez.tesettür İlk dizi yetkin olmayabilirse de her iki diziyi birbirlerinden ayırmaya hiç de gereksinme duymayabiliriz.
Böylece mantıkçılar adım adım şuna vardılar: Onlar, artık salt mantık olarak gösterilebilecek a priori bir sistemle fazla ilgilenmiyorlar. Tersine, onları ilgilendiren, artık tüm formelleştirilmiş sistemlerde salt bir mantığın olmadığını görmek, başka bir deyişle bu sistemlerin salt bir mantığa indirgenemeyeceğini saptamaktır. Böylece, bize mantıksal ya da matematiksel olarak görünen tüm formelleştirilimş sistemler üzerine bir meta-kuramsal inançlar sorunu ortaya çıkmış oldu.
d.Soyut Cebir Karşısında Formelleştirilmiş Mantık
Artık çağdaş mantık, tüm çıkanm yöntemlerini tek "mantık'a indirgemekten çok, formelleştirilmiş sistemleri birbirleriyle karşılaştırma işiyle ilgilenmektedir. Sistemler, biri öbürünün uzantısı, genişlemesi olarak görülmeksizin de karşılaştınlabilirler. Bu da, birini öbürüne dayanarak yorumlamakla, birindeki geçerli bir ifadeyi, öbürünün geçerli bir ifadesiyle uzlaşıma getirmekle olur.
Bu bakımdan, özellikle mantıksal ve matematiksel sistemler arasında yapılan karşılaştırma ilgi çekicidir. Öyle ki, bu karşılaştırma sonunda matematik yeni bir yönelim kazanmıştır. Örneğin
üzerine yeni bir form geliştirilmiştir ve artık burada yapılan az ya da çok bulanık "nicel" veriler ile sınırlı değildir. Soyut c? temleri, "nicelik'lerle değil, birlikler, gruplar, halkalar, kümeler, ilgilidirler. Bu sistemler belli aksiyomlardan yola çıkılarak forme)!^' rilebilir ve ne var ki, bu aksiyomlar hiç de mantıksal aksiyomkrdş lerdir. Öyle ki, bu sistemler elemanter cebir işlemlerini de içerirlerse nuç olarak, foımelleştirilmiş sistemlerin iki büyük grubu o/duğunujt rüyoruz:tesettür Mantık sistemleri ve soyut cebir sistemleri. Ve son mantıkçıları için en korkutucu olan şey şudur: Bu sistemlerden öbüründen daha elemanter ya da fundamental değildir.
Buna karşılık, bu sistemler arasında giderek bir uzlaşım sağlanj, bilir. Birinin elemanları ile öbürünün elemanları arasında eşbiçimsti (isomorf) bir uygunluk oluşturulabilir. Bu da iki şekilde olabilir. I.Sa yut cebir sistemleri mantıksal sistemlerin eşbiçimseli olarak görülebilirler. 2. uzlaşımsal sayılann ve rekursif (gidimli) işlevlerin kullanılmasıyla -Gödel, bu teknik konusunda büyük başanya ulaşmıştır- mantıksal ifadeler ve mantıksal kanıtlamalar aritmetiğin ifadeleri ve işaretleri ile formüle edilebilir.
4. META- KURAMLAR
a. Meta-Kuram Kavramı
Buraya kadar, klasik mantıkla klasik olmayan mantıktan, formel-leştirilmiş kuramlar olarak kendi gelişmeleri içinde ele almaya çalıştık. Şunu gördük ki, foımelleştirilmiş mantık salt, kapalı bir yapı değildir ve eleştiriye açık yanlan vardır. 1900'lü yıllardan beri paradokslann ortaya çıkardığı bunalım, formalizmdeki çelişkileri iyice gün ışığına çıkarmıştır. Örneğin Hilbert Okulu bu yüzden çalışmalannı matematiğin çelişkisizliği sorunu üzerine yöneltmiştir. Bu çalışmalar sonucu, bizzat foımelleştirilmiş kuramlann kendileri üzerine düşünme yolu, yani-tesettür
